Bab 16: Penjumlahan Momentum Sudut dan Struktur Halus
Pada Bab 14 kita melihat bahwa atom hidrogen, dalam pendekatan Schrödinger nonrelativistik, memiliki tingkat energi
\[ E_n = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}, \]
dengan \(n=1,2,3,\ldots\). Energi ini hanya bergantung pada bilangan kuantum utama \(n\), bukan pada \(l\) dan \(m\). Akibatnya, banyak keadaan berbeda memiliki energi yang sama. Keadaan seperti itu disebut degenerat.
Pada Bab 15 kita menambahkan spin elektron. Elektron bukan hanya memiliki momentum sudut orbital \(\mathbf L\), tetapi juga momentum sudut intrinsik \(\mathbf S\). Sekarang muncul pertanyaan baru:
Jika sebuah elektron memiliki \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\), momentum sudut manakah yang “dilihat” oleh atom secara keseluruhan?
Jawabannya adalah momentum sudut total
\[ \mathbf J = \mathbf L + \mathbf S. \]
Bab ini membahas cara menjumlahkan momentum sudut secara kuantum, mengapa basis \(|l,m_l\rangle |s,m_s\rangle\) kadang kurang nyaman, bagaimana muncul basis baru \(|j,m_j\rangle\), dan bagaimana koreksi kecil seperti kopling spin-orbit, efek Zeeman, dan struktur halus memperkaya spektrum atom.
Secara fisika, bab ini menjelaskan mengapa garis spektrum yang pada pendekatan kasar tampak tunggal ternyata dapat terpecah menjadi beberapa garis berdekatan. Secara matematika, bab ini memperkenalkan salah satu teknik paling penting dalam mekanika kuantum: penjumlahan momentum sudut.
16.1 Mengapa momentum sudut perlu dijumlahkan?
Dalam mekanika klasik, jika sebuah benda memiliki dua kontribusi momentum sudut, kita menjumlahkannya sebagai vektor biasa. Misalnya, jika ada momentum sudut orbital \(\mathbf L\) dan momentum sudut spin \(\mathbf S\), momentum sudut totalnya adalah
\[ \mathbf J = \mathbf L + \mathbf S. \]
Dalam mekanika kuantum, persamaan ini tetap benar sebagai persamaan operator. Namun, ada hal baru: komponen-komponen momentum sudut tidak semuanya dapat diketahui serentak.
Untuk momentum sudut orbital, kita telah mengenal relasi komutasi
\[ [L_x,L_y] = i\hbar L_z, \]
beserta sikliknya. Artinya, \(L_x\), \(L_y\), dan \(L_z\) tidak dapat memiliki nilai pasti secara bersamaan. Yang biasanya kita pilih sebagai pasangan observable yang kompatibel adalah
\[ L^2 \quad \text{dan} \quad L_z. \]
Keadaan orbital ditulis sebagai
\[ |l,m_l\rangle, \]
dengan
\[ L^2 |l,m_l\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m_l\rangle, \]
dan
\[ L_z |l,m_l\rangle = \hbar m_l |l,m_l\rangle. \]
Untuk spin elektron,
\[ s=\frac12, \]
dan keadaan spin ditulis
\[ |s,m_s\rangle, \]
dengan
\[ m_s = +\frac12 \quad \text{atau} \quad m_s = -\frac12. \]
Jika orbital dan spin belum saling berinteraksi, keadaan total dapat ditulis sebagai hasil kali
\[ |l,m_l\rangle |s,m_s\rangle. \]
Ini disebut basis tak tergandeng atau uncoupled basis, karena \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\) masih diperlakukan sebagai dua momentum sudut terpisah.
Tetapi jika ada interaksi yang bergantung pada \(\mathbf L\cdot \mathbf S\), basis ini tidak lagi paling sederhana. Interaksi seperti itu muncul dalam atom sebagai kopling spin-orbit. Untuk memahami kopling ini, kita perlu basis yang mengutamakan momentum sudut total
\[ \mathbf J = \mathbf L + \mathbf S. \]
Basis baru itu ditulis
\[ |j,m_j\rangle, \]
atau lebih lengkap
\[ |l,s;j,m_j\rangle. \]
Basis ini disebut basis tergandeng atau coupled basis.
16.2 Aturan penjumlahan momentum sudut kuantum
Misalkan kita memiliki dua momentum sudut kuantum
\[ \mathbf J_1 \]
dan
\[ \mathbf J_2. \]
Momentum sudut totalnya adalah
\[ \mathbf J = \mathbf J_1 + \mathbf J_2. \]
Jika
\[ J_1^2 |j_1,m_1\rangle = \hbar^2 j_1(j_1+1)|j_1,m_1\rangle \]
dan
\[ J_2^2 |j_2,m_2\rangle = \hbar^2 j_2(j_2+1)|j_2,m_2\rangle, \]
maka nilai \(j\) yang mungkin untuk momentum sudut total adalah
\[ j = |j_1-j_2|,\ |j_1-j_2|+1,\ldots,\ j_1+j_2. \]
Sementara itu, proyeksi total memenuhi
\[ m = m_1 + m_2. \]
Aturan ini merupakan salah satu hasil dasar teori momentum sudut kuantum dan dibahas secara sistematis dalam banyak teks mekanika kuantum modern, misalnya Griffiths dan Schroeter serta Sakurai dan Napolitano (Griffiths & Schroeter, 2018; Sakurai & Napolitano, 2020).
Contoh: dua spin-\(\frac12\)
Ambil dua partikel spin-\(\frac12\). Masing-masing memiliki
\[ s_1=s_2=\frac12. \]
Maka spin total \(s\) dapat bernilai
\[ s = \left|\frac12-\frac12\right|,\ldots,\frac12+\frac12. \]
Jadi,
\[ s=0 \quad \text{atau} \quad s=1. \]
Keadaan dengan \(s=1\) disebut triplet, karena memiliki tiga nilai \(m_s\):
\[ m_s=1,0,-1. \]
Keadaannya adalah
\[ |1,1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle, \]
\[ |1,0\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \left(|\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle\right), \]
\[ |1,-1\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle. \]
Keadaan dengan \(s=0\) disebut singlet, karena hanya memiliki satu nilai \(m_s\):
\[ |0,0\rangle = \frac{1}{\sqrt2} \left(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle\right). \]
Contoh ini penting karena memperlihatkan bahwa penjumlahan momentum sudut tidak sekadar menjumlahkan angka. Dua keadaan
\[ |\uparrow\downarrow\rangle \]
dan
\[ |\downarrow\uparrow\rangle \]
dapat membentuk kombinasi simetris dan antisimetris. Nanti, dalam Bab 19, struktur simetri seperti ini menjadi dasar pembahasan partikel identik, boson, fermion, dan prinsip eksklusi Pauli.
16.3 Koefisien Clebsch-Gordan secara konseptual
Ketika kita berpindah dari basis tak tergandeng
\[ |j_1,m_1\rangle |j_2,m_2\rangle \]
ke basis tergandeng
\[ |j,m\rangle, \]
kita memerlukan koefisien yang menghubungkan keduanya.
Secara umum,
\[ |j,m\rangle = \sum_{m_1,m_2} C^{j m}_{j_1 m_1\, j_2 m_2} |j_1,m_1\rangle |j_2,m_2\rangle. \]
Koefisien
\[ C^{j m}_{j_1 m_1\, j_2 m_2} \]
disebut koefisien Clebsch-Gordan.
Maknanya sederhana:
Koefisien Clebsch-Gordan adalah amplitudo probabilitas bahwa keadaan total \(|j,m\rangle\) tersusun dari pasangan keadaan \(|j_1,m_1\rangle |j_2,m_2\rangle\).
Karena ia adalah amplitudo, kuadrat modulusnya memberikan probabilitas.
Koefisien ini tidak sembarang. Ia hanya tidak nol jika
\[ m = m_1 + m_2. \]
Syarat ini menyatakan bahwa proyeksi momentum sudut total adalah jumlah proyeksi masing-masing.
Contoh: \(l=1\) dan \(s=\frac12\)
Dalam atom, kita sering menjumlahkan momentum sudut orbital elektron \(\mathbf L\) dan spin elektron \(\mathbf S\). Misalkan
\[ l=1, \]
dan
\[ s=\frac12. \]
Maka nilai \(j\) yang mungkin adalah
\[ j = l+s = \frac32, \]
atau
\[ j = l-s = \frac12. \]
Jadi dari orbital \(p\), yaitu \(l=1\), kita memperoleh dua keluarga keadaan total:
\[ j=\frac32 \]
dan
\[ j=\frac12. \]
Salah satu keadaan dengan \(j=\frac32\) adalah keadaan maksimum
\[ \left|\frac32,\frac32\right\rangle. \]
Karena \(m_j=\frac32\), satu-satunya cara mendapatkannya adalah
\[ m_l=1,\qquad m_s=\frac12. \]
Maka
\[ \left|\frac32,\frac32\right\rangle = |1,1\rangle \left|\frac12,\frac12\right\rangle. \]
Untuk \(m_j=\frac12\), ada dua kemungkinan:
\[ m_l=0,\quad m_s=\frac12, \]
atau
\[ m_l=1,\quad m_s=-\frac12. \]
Keadaan totalnya merupakan superposisi dua kemungkinan tersebut. Dengan konvensi fase standar,
\[ \left|\frac32,\frac12\right\rangle = \sqrt{\frac23}\,|1,0\rangle\left|\frac12,\frac12\right\rangle + \sqrt{\frac13}\,|1,1\rangle\left|\frac12,-\frac12\right\rangle. \]
Sedangkan keadaan ortogonalnya dengan \(j=\frac12\) adalah
\[ \left|\frac12,\frac12\right\rangle = \sqrt{\frac13}\,|1,0\rangle\left|\frac12,\frac12\right\rangle - \sqrt{\frac23}\,|1,1\rangle\left|\frac12,-\frac12\right\rangle. \]
Tanda minus di sini bergantung pada konvensi fase. Probabilitas fisiknya tidak berubah oleh pilihan fase global, tetapi tabel Clebsch-Gordan biasanya memakai satu konvensi tertentu agar semua hasil konsisten (Griffiths & Schroeter, 2018; Sakurai & Napolitano, 2020).
16.4 Operator \(\mathbf L\cdot\mathbf S\)
Kopling spin-orbit melibatkan operator
\[ \mathbf L\cdot \mathbf S. \]
Jika kita bekerja dalam basis tak tergandeng \(|l,m_l\rangle |s,m_s\rangle\), operator ini tidak selalu diagonal. Tetapi dalam basis tergandeng \(|l,s;j,m_j\rangle\), ia menjadi sangat sederhana.
Mulai dari
\[ \mathbf J = \mathbf L + \mathbf S. \]
Kuadratkan kedua sisi:
\[ J^2 = L^2 + S^2 + 2\mathbf L\cdot\mathbf S. \]
Maka
\[ \mathbf L\cdot\mathbf S = \frac12\left(J^2-L^2-S^2\right). \]
Jika keadaan kita adalah eigenstate bersama dari \(J^2\), \(L^2\), dan \(S^2\), maka
\[ \mathbf L\cdot\mathbf S \]
langsung memiliki nilai harapan
\[ \langle \mathbf L\cdot\mathbf S\rangle = \frac{\hbar^2}{2} \left[ j(j+1)-l(l+1)-s(s+1) \right]. \]
Untuk elektron,
\[ s=\frac12, \]
sehingga
\[ s(s+1)=\frac34. \]
Contoh: orbital \(p\)
Untuk orbital \(p\),
\[ l=1. \]
Nilai \(j\) yang mungkin adalah
\[ j=\frac32 \]
dan
\[ j=\frac12. \]
Untuk \(j=\frac32\),
\[ \langle \mathbf L\cdot\mathbf S\rangle = \frac{\hbar^2}{2} \left[ \frac32\frac52 - 1(2) - \frac34 \right]. \]
Hitung bagian dalam kurung:
\[ \frac32\frac52 = \frac{15}{4}, \]
\[ 1(2)=2=\frac84, \]
\[ \frac34=\frac34. \]
Jadi
\[ \frac{15}{4}-\frac84-\frac34 = \frac44=1. \]
Maka
\[ \langle \mathbf L\cdot\mathbf S\rangle = \frac{\hbar^2}{2}. \]
Untuk \(j=\frac12\),
\[ \langle \mathbf L\cdot\mathbf S\rangle = \frac{\hbar^2}{2} \left[ \frac12\frac32 -2-\frac34 \right]. \]
Karena
\[ \frac12\frac32=\frac34, \]
maka
\[ \frac34-2-\frac34=-2. \]
Jadi
\[ \langle \mathbf L\cdot\mathbf S\rangle = -\hbar^2. \]
Artinya, keadaan \(p_{3/2}\) dan \(p_{1/2}\) memiliki energi berbeda jika Hamiltonian memuat suku yang sebanding dengan \(\mathbf L\cdot\mathbf S\).
Inilah inti matematis pemisahan spin-orbit.
16.5 Kopling spin-orbit: asal fisik
Sekarang kita bertanya: mengapa dalam atom muncul suku \(\mathbf L\cdot\mathbf S\)?
Secara kasar, elektron bergerak dalam medan listrik inti. Dalam kerangka diam elektron, medan listrik ini tampak sebagian sebagai medan magnet. Karena elektron memiliki momen magnetik spin, medan magnet efektif tersebut berinteraksi dengan spin elektron. Hasil akhirnya adalah energi interaksi yang bergantung pada orientasi relatif antara \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\).
Namun, penjelasan ini harus diberi catatan penting. Transformasi dari kerangka laboratorium ke kerangka elektron tidak cukup jika dilakukan terlalu sederhana, karena kerangka elektron yang mengorbit inti merupakan kerangka dipercepat. Koreksi kinematik yang dikenal sebagai presesi Thomas menghasilkan faktor penting \(1/2\) dalam kopling spin-orbit. Faktor ini dijelaskan oleh L. H. Thomas dalam analisis relativistik terhadap elektron ber-spin (Thomas, 1926).
Untuk potensial pusat \(V(r)\), bentuk kopling spin-orbit nonrelativistik orde pertama adalah
\[ H_{\text{SO}} = \frac{1}{2m^2c^2} \frac{1}{r}\frac{dV}{dr} \mathbf L\cdot\mathbf S. \]
Di sini:
- \(m\) adalah massa elektron,
- \(c\) adalah kelajuan cahaya,
- \(V(r)\) adalah energi potensial elektron,
- \(\mathbf L\) adalah momentum sudut orbital,
- \(\mathbf S\) adalah spin elektron.
Untuk atom hidrogen,
\[ V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \]
Maka
\[ \frac{dV}{dr} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \]
sehingga
\[ \frac{1}{r}\frac{dV}{dr} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^3}. \]
Jadi, untuk hidrogen,
\[ H_{\text{SO}} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 m^2c^2} \frac{1}{r^3} \mathbf L\cdot\mathbf S. \]
Bentuk ini menunjukkan dua hal penting.
Pertama, efek spin-orbit lebih kuat ketika elektron lebih dekat ke inti, karena faktor \(1/r^3\).
Kedua, energi bergantung pada orientasi relatif antara \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\). Jika \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\) cenderung sejajar, nilai \(\mathbf L\cdot\mathbf S\) positif. Jika cenderung berlawanan arah, nilainya negatif.
16.6 Notasi spektroskopi: \(s\), \(p\), \(d\), dan \(j\)
Dalam atom, nilai \(l\) sering diberi nama huruf:
\[ l=0 \quad \Rightarrow \quad s, \]
\[ l=1 \quad \Rightarrow \quad p, \]
\[ l=2 \quad \Rightarrow \quad d, \]
\[ l=3 \quad \Rightarrow \quad f. \]
Huruf-huruf ini berasal dari tradisi spektroskopi lama: sharp, principal, diffuse, dan fundamental. Nama-nama tersebut mendahului mekanika kuantum modern, tetapi tetap dipakai hingga sekarang dalam notasi atomik (Griffiths & Schroeter, 2018).
Jika spin diperhitungkan, keadaan atom hidrogen sering ditulis sebagai
\[ n l_j. \]
Contohnya:
\[ 2p_{1/2} \]
berarti
\[ n=2,\qquad l=1,\qquad j=\frac12. \]
Sedangkan
\[ 2p_{3/2} \]
berarti
\[ n=2,\qquad l=1,\qquad j=\frac32. \]
Kedua keadaan ini memiliki \(n\) dan \(l\) yang sama, tetapi \(j\) berbeda. Karena kopling spin-orbit bergantung pada \(j\), keduanya dapat memiliki energi berbeda.
16.7 Struktur halus atom hidrogen
Pada pendekatan Schrödinger sederhana, energi hidrogen hanya bergantung pada \(n\). Tetapi eksperimen menunjukkan bahwa garis spektrum hidrogen memiliki pemisahan kecil. Pemisahan kecil ini disebut struktur halus.
Istilah “halus” berarti bahwa pemisahannya jauh lebih kecil daripada jarak utama antara tingkat energi Bohr. Secara orde besar, energi utama hidrogen berskala
\[ mc^2\alpha^2, \]
sedangkan koreksi struktur halus berskala
\[ mc^2\alpha^4. \]
Di sini
\[ \alpha \approx \frac{1}{137} \]
adalah konstanta struktur halus, yaitu konstanta tak berdimensi yang mengukur kekuatan interaksi elektromagnetik. Karena \(\alpha^2\) sangat kecil, koreksi struktur halus jauh lebih kecil daripada energi utama.
Struktur halus hidrogen berasal dari tiga koreksi utama dalam pendekatan nonrelativistik:
- koreksi relativistik terhadap energi kinetik,
- kopling spin-orbit,
- suku Darwin.
Ketiganya juga muncul secara alami dari ekspansi energi relativistik dan dari teori Dirac untuk elektron. Persamaan Dirac, yang diperkenalkan pada tahun 1928, memberikan teori relativistik elektron dan menjelaskan spin elektron serta struktur halus hidrogen dalam satu kerangka yang lebih mendasar (Dirac, 1928).
16.8 Koreksi relativistik energi kinetik
Dalam mekanika nonrelativistik, energi kinetik adalah
\[ T = \frac{p^2}{2m}. \]
Tetapi dalam relativitas khusus, energi total partikel bebas adalah
\[ E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}. \]
Energi kinetiknya adalah
\[ T = E - mc^2. \]
Untuk momentum kecil dibanding \(mc\), kita dapat melakukan ekspansi:
\[ T = \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3c^2} +\cdots. \]
Suku pertama adalah energi kinetik biasa. Suku berikutnya,
\[ H_{\text{rel}} = -\frac{p^4}{8m^3c^2}, \]
adalah koreksi relativistik pertama.
Dalam atom hidrogen, elektron tidak bergerak dengan kelajuan relativistik penuh, tetapi koreksi kecil ini tetap cukup untuk memecah tingkat energi jika pengukuran spektroskopi sangat presisi.
16.9 Suku Darwin
Suku Darwin adalah koreksi lain yang muncul ketika teori relativistik elektron direduksi ke bentuk nonrelativistik. Secara fisika, suku ini berkaitan dengan fakta bahwa elektron relativistik tidak dapat diperlakukan sebagai titik klasik yang selalu memiliki posisi tajam dalam cara yang sama seperti partikel nonrelativistik sederhana.
Untuk potensial \(V(r)\), bentuk suku Darwin adalah
\[ H_D = \frac{\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2 V. \]
Untuk potensial Coulomb, \(\nabla^2 V\) hanya memberi kontribusi di \(r=0\). Karena fungsi gelombang dengan \(l=0\) tidak nol di inti, suku Darwin memengaruhi keadaan \(s\). Sebaliknya, untuk \(l>0\), fungsi gelombang hidrogen memiliki faktor \(r^l\) di dekat \(r=0\), sehingga kontribusi Darwin tidak muncul dengan cara yang sama.
Suku Darwin sering terasa abstrak pada tingkat awal, tetapi perannya penting: tanpa suku ini, hasil struktur halus hidrogen tidak cocok dengan hasil ekspansi teori Dirac (Griffiths & Schroeter, 2018; Sakurai & Napolitano, 2020).
16.10 Hasil energi struktur halus
Jika ketiga koreksi—relativistik, spin-orbit, dan Darwin—digabungkan, koreksi struktur halus atom hidrogen dapat ditulis sebagai
\[ \Delta E_{n j} = \frac{\left(E_n^{(0)}\right)^2}{2mc^2} \left[ 3-\frac{4n}{j+\frac12} \right], \]
dengan
\[ E_n^{(0)} = -\frac{mc^2\alpha^2}{2n^2}. \]
Bentuk lain yang sering dipakai adalah
\[ E_{n j} = -\frac{mc^2\alpha^2}{2n^2} \left[ 1+ \frac{\alpha^2}{n^2} \left( \frac{n}{j+\frac12} -\frac34 \right) \right]. \]
Rumus ini menunjukkan bahwa, setelah struktur halus diperhitungkan, energi tidak lagi hanya bergantung pada \(n\), tetapi juga pada \(j\).
Namun, dalam pendekatan struktur halus hidrogen ini, energi masih tidak bergantung pada \(l\) secara terpisah. Misalnya, keadaan
\[ 2s_{1/2} \]
dan
\[ 2p_{1/2} \]
masih memiliki energi yang sama dalam teori Dirac ideal untuk atom hidrogen tanpa koreksi tambahan tertentu. Eksperimen Lamb dan Retherford pada tahun 1947 menunjukkan adanya pergeseran kecil antara tingkat tersebut, yang kini dikenal sebagai Lamb shift dan memerlukan elektrodinamika kuantum untuk penjelasan lengkap (Lamb & Retherford, 1947).
Ini memberi pelajaran penting: mekanika kuantum nonrelativistik menjelaskan struktur utama atom; koreksi relativistik menjelaskan struktur halus; elektrodinamika kuantum menjelaskan koreksi yang lebih kecil lagi.
16.11 Contoh: pemisahan \(2p_{1/2}\) dan \(2p_{3/2}\)
Pertimbangkan keadaan dengan
\[ n=2,\qquad l=1. \]
Ini adalah keadaan \(2p\). Karena elektron memiliki spin
\[ s=\frac12, \]
maka
\[ j=\frac12 \]
atau
\[ j=\frac32. \]
Jadi keadaan \(2p\) terpecah menjadi
\[ 2p_{1/2} \]
dan
\[ 2p_{3/2}. \]
Secara kualitatif:
- pada \(2p_{3/2}\), \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\) lebih “searah”,
- pada \(2p_{1/2}\), \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\) lebih “berlawanan”.
Karena energi spin-orbit bergantung pada
\[ \mathbf L\cdot\mathbf S, \]
kedua keadaan ini tidak harus memiliki energi sama.
Mari lihat tanda koreksi struktur halusnya.
Untuk \(n=2\), \(j=\frac12\),
\[ j+\frac12 = 1. \]
Maka faktor dalam kurung adalah
\[ 3-\frac{4n}{j+\frac12} = 3-\frac{8}{1} = -5. \]
Untuk \(j=\frac32\),
\[ j+\frac12=2, \]
sehingga
\[ 3-\frac{8}{2} = 3-4 = -1. \]
Karena
\[ \frac{(E_n^{(0)})^2}{2mc^2} \]
positif, koreksi untuk \(j=\frac12\) lebih negatif daripada untuk \(j=\frac32\). Jadi tingkat \(2p_{1/2}\) berada sedikit lebih rendah daripada \(2p_{3/2}\) dalam struktur halus hidrogen ideal.
16.12 Efek Zeeman: atom dalam medan magnet
Sekarang kita tambahkan medan magnet luar. Jika atom ditempatkan dalam medan magnet
\[ \mathbf B = B\hat z, \]
maka momen magnetik elektron berinteraksi dengan medan tersebut.
Secara umum, energi interaksi momen magnetik \(\boldsymbol\mu\) dengan medan magnet adalah
\[ H_Z = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B. \]
Untuk elektron, momen magnetik orbital adalah
\[ \boldsymbol\mu_L = -\frac{e}{2m}\mathbf L, \]
dengan \(e>0\) adalah besar muatan elementer. Tanda minus muncul karena muatan elektron adalah \(-e\).
Momen magnetik spin adalah
\[ \boldsymbol\mu_S = -g_s\frac{e}{2m}\mathbf S, \]
dengan
\[ g_s \approx 2. \]
Nilai \(g_s\) yang mendekati 2 merupakan salah satu hasil penting teori Dirac untuk elektron (Dirac, 1928). Koreksi kecil terhadap nilai 2 dijelaskan oleh elektrodinamika kuantum, tetapi untuk pembahasan struktur atom dasar biasanya cukup memakai \(g_s\simeq 2\).
Dengan mendefinisikan magneton Bohr
\[ \mu_B = \frac{e\hbar}{2m}, \]
Hamiltonian Zeeman dapat ditulis
\[ H_Z = \mu_B B \left( \frac{L_z}{\hbar} + g_s\frac{S_z}{\hbar} \right). \]
Efek Zeeman pertama kali diamati sebagai pemisahan garis spektrum oleh medan magnet pada akhir abad ke-19, sebelum mekanika kuantum modern tersedia (Zeeman, 1897). Dalam bahasa mekanika kuantum, pemisahan itu terjadi karena medan magnet membedakan keadaan dengan proyeksi momentum sudut berbeda.
16.13 Efek Zeeman lemah dan faktor Landé
Jika medan magnet luar cukup lemah dibanding kopling spin-orbit internal atom, maka \(\mathbf L\) dan \(\mathbf S\) tetap tergandeng menjadi
\[ \mathbf J = \mathbf L+\mathbf S. \]
Dalam keadaan ini, basis yang tepat adalah
\[ |l,s;j,m_j\rangle. \]
Energi Zeeman orde pertama dapat ditulis
\[ \Delta E_Z = \mu_B g_J m_j B, \]
dengan \(g_J\) disebut faktor Landé.
Untuk elektron dengan \(g_L=1\) dan \(g_S\simeq 2\), faktor Landé adalah
\[ g_J = 1+ \frac{ j(j+1)+s(s+1)-l(l+1) }{ 2j(j+1) }. \]
Rumus ini mengatakan bahwa medan magnet “melihat” kombinasi orbital dan spin melalui momentum sudut total \(\mathbf J\).
Contoh: keadaan \(p_{3/2}\)
Untuk keadaan \(p_{3/2}\),
\[ l=1,\qquad s=\frac12,\qquad j=\frac32. \]
Hitung
\[ j(j+1) = \frac32\frac52 = \frac{15}{4}, \]
\[ s(s+1) = \frac12\frac32 = \frac34, \]
\[ l(l+1) = 1(2) = 2. \]
Maka
\[ g_J = 1+ \frac{ \frac{15}{4}+\frac34-2 }{ 2\cdot \frac{15}{4} }. \]
Bagian atas:
\[ \frac{15}{4}+\frac34-2 = \frac{18}{4}-\frac84 = \frac{10}{4} = \frac52. \]
Bagian bawah:
\[ 2\cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{2}. \]
Jadi
\[ g_J = 1+ \frac{\frac52}{\frac{15}{2}} = 1+\frac{1}{3} = \frac43. \]
Karena \(j=\frac32\), nilai \(m_j\) adalah
\[ m_j=-\frac32,-\frac12,\frac12,\frac32. \]
Maka dalam medan magnet lemah, tingkat \(p_{3/2}\) terpecah menjadi empat subtingkat dengan jarak energi sebanding dengan
\[ \mu_B g_J B. \]
16.14 Efek Zeeman kuat dan batas Paschen-Back
Jika medan magnet luar sangat kuat dibanding kopling spin-orbit, maka medan