Mengapa Vektor Ditulis sebagai \(\mathbf{u}\)?

Dalam bagian yang disorot, lambang

\[ \mathbf{u} \]

muncul di dalam kalimat:

Sebuah aturan atau fungsi \(T\) disebut transformasi linear jika untuk setiap vektor \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), dan setiap skalar \(c\), berlaku ...

Di sini, \(\mathbf{u}\) bukan nama vektor khusus seperti “vektor ke kanan” atau “vektor posisi tertentu”. Lambang itu dipakai sebagai vektor sembarang. Artinya, \(\mathbf{u}\) mewakili vektor apa pun yang berada di ruang yang sedang dibahas, misalnya di \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\), atau lebih umum di suatu ruang vektor.

Jika kita sedang bekerja di \(\mathbb{R}^2\), maka \(\mathbf{u}\) bisa saja berarti

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix}, \]

tetapi bisa juga berarti

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} -5\\ 3 \end{bmatrix}, \]

atau vektor lain mana pun di bidang. Huruf \(\mathbf{u}\) dipilih bukan karena komponennya harus bernama \(u\), melainkan karena dalam matematika kita sering memakai huruf sebagai penampung sementara untuk objek yang belum ditentukan secara khusus.

Huruf \(\mathbf{u}\) sebagai nama, bukan rumus

Penting membedakan antara nama vektor dan isi vektor. Lambang \(\mathbf{u}\) adalah nama sebuah vektor. Isinya bisa berupa daftar bilangan.

Misalnya, kita dapat menulis

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}. \]

Dalam persamaan ini, \(\mathbf{u}\) adalah nama vektornya, sedangkan

\[ \begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix} \]

adalah komponennya. Sama seperti seseorang bernama “Ani” dapat memiliki tinggi badan, usia, dan alamat tertentu, sebuah vektor bernama \(\mathbf{u}\) dapat memiliki komponen tertentu.

Jadi ketika definisi transformasi linear menulis

\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}), \]

maksudnya bukan hanya untuk satu vektor bernama \(\mathbf{u}\), melainkan untuk semua kemungkinan pilihan \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\). Inilah makna frasa “untuk setiap vektor \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\)”.

Mengapa hurufnya \(u\), bukan \(x\) atau \(a\)?

Secara matematis, tidak ada kewajiban bahwa vektor harus dilambangkan dengan \(\mathbf{u}\). Kita bisa saja memakai

\[ \mathbf{x}, \quad \mathbf{a}, \quad \mathbf{p}, \quad \mathbf{w}, \]

atau lambang lain. Yang penting adalah lambangnya didefinisikan dengan jelas dan dipakai secara konsisten.

Namun dalam aljabar linear, ada beberapa kebiasaan notasi. Huruf-huruf seperti

\[ \mathbf{u},\ \mathbf{v},\ \mathbf{w} \]

sering dipakai untuk menyatakan vektor umum. Salah satu alasannya sederhana: huruf-huruf ini berdekatan dalam alfabet dan mudah dipasangkan. Ketika kita ingin membahas dua vektor sembarang, sangat umum menulis \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\). Jika perlu tiga vektor, kita sering menulis \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), dan \(\mathbf{w}\).

Sementara itu, huruf \(x\), \(y\), dan \(z\) sering dipakai untuk variabel koordinat atau komponen. Misalnya,

\[ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \]

adalah vektor di \(\mathbb{R}^2\), dengan \(x\) dan \(y\) sebagai komponennya. Karena itu, memakai \(\mathbf{u}\) sebagai nama vektor membantu membedakan antara vektor sebagai satu objek utuh dan bilangan-bilangan penyusunnya.

Perhatikan perbedaan berikut:

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}. \]

Di sini, \(\mathbf{u}\) adalah vektor secara keseluruhan, sedangkan \(x\) dan \(y\) adalah komponen-komponennya. Lambang tebal \(\mathbf{u}\) membantu memberi tanda bahwa objek ini adalah vektor, bukan skalar biasa. Kebiasaan membedakan vektor dan skalar dengan cetak tebal atau panah di atas huruf banyak ditemukan dalam buku aljabar linear standar [Lay, Lay, and McDonald 2016; Strang 2016].

Mengapa dicetak tebal?

Dalam teks matematika, vektor sering ditulis dengan huruf tebal:

\[ \mathbf{u},\quad \mathbf{v},\quad \mathbf{0}. \]

Cetak tebal memberi isyarat bahwa lambang tersebut mewakili vektor. Ini berguna karena huruf yang sama tanpa cetak tebal, misalnya \(u\), bisa saja dipakai untuk skalar atau fungsi dalam konteks lain.

Ada juga buku atau guru yang menulis vektor dengan panah:

\[ \vec{u}. \]

Notasi \(\mathbf{u}\) dan \(\vec{u}\) biasanya memiliki maksud yang sama: keduanya menandai bahwa \(u\) adalah vektor. Dalam aljabar linear tingkat universitas, notasi cetak tebal lebih sering dipakai, terutama ketika vektor dipahami sebagai elemen ruang vektor, bukan hanya panah geometris di bidang atau ruang.

Jadi,

\[ \mathbf{u} \]

dapat dibaca sebagai “vektor \(u\)”.

Peran \(\mathbf{u}\) dalam definisi transformasi linear

Definisi dalam dokumen induk menyatakan bahwa fungsi \(T\) disebut transformasi linear jika untuk setiap vektor \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), dan setiap skalar \(c\), berlaku dua sifat:

\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \]

dan

\[ T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u}). \]

Di sini, \(\mathbf{u}\) berperan sebagai vektor masukan. Fungsi \(T\) mengambil vektor, lalu menghasilkan vektor lain. Misalnya, jika

\[ T \left( \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x\\ 2y \end{bmatrix}, \]

maka untuk

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}, \]

kita memperoleh

\[ T(\mathbf{u}) = T \left( \begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 6\\ -2 \end{bmatrix}. \]

Tetapi definisi transformasi linear tidak cukup diperiksa hanya pada satu \(\mathbf{u}\). Definisi itu harus berlaku untuk semua vektor yang mungkin. Itulah sebabnya lambang \(\mathbf{u}\) sangat berguna: ia memungkinkan kita membicarakan vektor sembarang tanpa harus menyebutkan komponennya satu per satu.

Contoh konkret: \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\)

Misalkan

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}. \]

Maka

\[ \mathbf{u}+\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 6 \end{bmatrix}. \]

Jika transformasinya adalah

\[ T \left( \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x\\ 2y \end{bmatrix}, \]

maka

\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T \left( \begin{bmatrix} 4\\ 6 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 8\\ 12 \end{bmatrix}. \]

Sementara itu,

\[ T(\mathbf{u}) = \begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}, \quad T(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 6\\ 8 \end{bmatrix}, \]

sehingga

\[ T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6\\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8\\ 12 \end{bmatrix}. \]

Jadi dalam contoh ini,

\[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}). \]

Tetapi sekali lagi, untuk membuktikan bahwa \(T\) linear, kita tidak cukup hanya menguji satu pasangan \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\). Kita harus menunjukkan bahwa sifat itu berlaku untuk semua vektor. Dalam definisi formal, \(\mathbf{u}\) dan \(\mathbf{v}\) adalah lambang umum yang mewakili semua kemungkinan itu.

Makna kecil yang penting

Jadi, lambang \(\mathbf{u}\) dalam bagian tersebut memiliki makna sederhana tetapi penting: ia adalah sebuah vektor sembarang. Huruf \(u\) sendiri hanyalah pilihan nama. Cetak tebal menunjukkan bahwa yang dimaksud adalah vektor, bukan skalar biasa. Dalam definisi transformasi linear, \(\mathbf{u}\) dipakai agar kita dapat menyatakan sifat umum: transformasi linear harus cocok dengan penjumlahan vektor dan perkalian skalar untuk semua vektor, bukan hanya untuk contoh tertentu.

Dengan memahami lambang kecil ini, pembaca sebenarnya sedang belajar salah satu kebiasaan utama dalam matematika: memakai simbol bukan untuk membuat hal menjadi rumit, melainkan untuk menyatakan gagasan umum secara ringkas dan tepat.

References

Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 3rd ed. Springer, 2015.

Lay, David C., Steven R. Lay, and Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2016.

Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016.