Apa Artinya “Afine” dalam Aljabar Linear?

Kata yang disorot, afine, muncul tepat setelah pembahasan tentang fungsi \(f(x)=2x+1\). Di sekolah, grafik fungsi ini sering disebut “garis lurus” atau bahkan “fungsi linear” karena grafiknya memang berupa garis. Namun dalam aljabar linear, istilah linear mempunyai arti yang lebih ketat. Karena itu, fungsi seperti \(f(x)=2x+1\) lebih tepat disebut afine atau, dalam ejaan yang juga sering dipakai, afin. Dalam bahasa Inggris istilahnya adalah affine.

Inti gagasannya sederhana: fungsi afine adalah fungsi yang terdiri dari bagian linear ditambah pergeseran tetap.

Untuk fungsi satu variabel,

\[ f(x)=2x+1, \]

bagian \(2x\) adalah bagian linear, sedangkan \(+1\) adalah pergeseran. Karena ada tambahan tetap \(1\), fungsi ini tidak lagi linear dalam arti aljabar linear, walaupun grafiknya tetap berupa garis.

Mengapa \(f(x)=2x+1\) Bukan Linear?

Dalam aljabar linear, sebuah transformasi \(T\) disebut linear jika memenuhi dua syarat:

\[ T(u+v)=T(u)+T(v) \]

dan

\[ T(cu)=cT(u), \]

untuk semua vektor \(u,v\) dan semua skalar \(c\). Dari dua syarat ini, ada akibat penting:

\[ T(0)=0. \]

Mengapa? Ambil \(c=0\). Karena \(0u=0\), maka

\[ T(0)=T(0u)=0T(u)=0. \]

Jadi setiap transformasi linear harus mengirim nol ke nol. Ini bukan syarat tambahan; ini konsekuensi langsung dari definisi transformasi linear, seperti yang juga menjadi standar dalam buku-buku aljabar linear [Axler 2015; Lay, Lay, and McDonald 2016].

Sekarang periksa fungsi

\[ f(x)=2x+1. \]

Jika \(x=0\), maka

\[ f(0)=2(0)+1=1. \]

Jadi nol tidak dikirim ke nol, tetapi ke \(1\). Karena itu, sebagai transformasi dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\), fungsi ini bukan transformasi linear.

Kegagalan ini juga tampak dari sifat penjumlahan. Misalnya ambil \(u=1\) dan \(v=2\). Maka

\[ f(u+v)=f(3)=2(3)+1=7. \]

Tetapi

\[ f(u)+f(v)=f(1)+f(2)=(3)+(5)=8. \]

Karena

\[ f(1+2)\neq f(1)+f(2), \]

fungsi ini tidak mempertahankan penjumlahan. Jadi ia tidak linear menurut definisi aljabar linear.

Bentuk Umum Fungsi Afine

Secara umum, fungsi afine dari \(\mathbb{R}^n\) ke \(\mathbb{R}^m\) dapat ditulis sebagai

\[ F(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}. \]

Di sini:

• \(\mathbf{x}\) adalah vektor masukan di \(\mathbb{R}^n\),
• \(A\) adalah matriks yang mewakili bagian linear,
• \(\mathbf{b}\) adalah vektor tetap yang mewakili pergeseran,
• \(F(\mathbf{x})\) adalah vektor keluaran di \(\mathbb{R}^m\).

Jika \(\mathbf{b}=\mathbf{0}\), maka

\[ F(\mathbf{x})=A\mathbf{x}, \]

dan transformasi itu linear. Tetapi jika \(\mathbf{b}\neq \mathbf{0}\), maka transformasi itu biasanya tidak linear; ia afine.

Contoh dari dokumen induk adalah transformasi

\[ S \left( \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} x+1\\ y \end{bmatrix}. \]

Transformasi ini dapat ditulis sebagai

\[ S(\mathbf{x})=I\mathbf{x}+ \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \]

dengan

\[ I= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

Bagian \(I\mathbf{x}\) adalah bagian linear: ia tidak mengubah vektor. Tetapi tambahan

\[ \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \]

menggeser semua titik satu satuan ke kanan. Karena adanya pergeseran ini, transformasi tersebut afine, bukan linear.

Garis Lurus Tidak Selalu Berarti Linear

Di sinilah sering muncul kebingungan. Dalam geometri sekolah, grafik

\[ y=2x+1 \]

adalah garis lurus. Karena itu, banyak orang menyebutnya “fungsi linear”. Dalam konteks sekolah, istilah itu sering dipakai secara longgar untuk fungsi yang grafiknya garis lurus.

Namun dalam aljabar linear, kata linear bukan terutama tentang “bentuk grafiknya lurus”, melainkan tentang apakah suatu aturan mempertahankan struktur vektor: penjumlahan dan perkalian skalar.

Bandingkan dua fungsi berikut:

\[ g(x)=2x \]

dan

\[ f(x)=2x+1. \]

Fungsi \(g\) linear karena

\[ g(0)=0, \]

dan ia memenuhi

\[ g(u+v)=g(u)+g(v), \]

serta

\[ g(cu)=cg(u). \]

Grafiknya adalah garis lurus yang melalui titik asal.

Sebaliknya, fungsi \(f\) juga memiliki grafik berupa garis lurus, tetapi garis itu tidak melalui titik asal. Ia memotong sumbu \(y\) di \(1\). Secara aljabar linear, tambahan \(+1\) itulah yang membuatnya tidak linear.

Jadi, untuk fungsi dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\), fungsi berbentuk

\[ f(x)=ax \]

adalah linear, sedangkan fungsi berbentuk

\[ f(x)=ax+b \]

adalah afine. Jika \(b=0\), fungsi afine itu sekaligus linear. Jika \(b\neq 0\), ia afine tetapi tidak linear.

Makna Geometris: Linear Menjaga Titik Asal, Afine Boleh Menggeser

Secara geometris, transformasi linear selalu menjaga titik asal tetap di tempatnya. Dalam \(\mathbb{R}^2\), titik asal adalah

\[ \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}. \]

Transformasi linear boleh memutar, meregangkan, mencerminkan, atau meratakan ruang, tetapi titik asal tetap dikirim ke titik asal.

Transformasi afine lebih longgar. Ia dapat melakukan transformasi linear terlebih dahulu, lalu menggeser hasilnya. Misalnya,

\[ F(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b} \]

dapat dibaca sebagai dua langkah:

\[ \mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x} \]

lalu

\[ A\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}+\mathbf{b}. \]

Langkah pertama linear. Langkah kedua translasi atau pergeseran.

Inilah sebabnya transformasi afine sangat penting dalam geometri dan grafika komputer. Gerakan seperti menggeser objek, memutar objek lalu memindahkannya, atau mengubah skala objek lalu meletakkannya di posisi baru biasanya bersifat afine. Pembahasan transformasi afine sebagai gabungan bagian linear dan translasi merupakan tema standar dalam geometri afin dan aplikasinya [Berger 1987; Gallier 2011].

Contoh Sederhana di Bidang

Misalkan kita punya transformasi

\[ F \left( \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x\\ 3y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}. \]

Ini sama dengan

\[ F \left( \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2x+1\\ 3y-2 \end{bmatrix}. \]

Bagian

\[ \begin{bmatrix} 2x\\ 3y \end{bmatrix} \]

meregangkan arah \(x\) dua kali dan arah \(y\) tiga kali. Bagian

\[ \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} \]

menggeser hasilnya satu satuan ke kanan dan dua satuan ke bawah.

Jika kita masukkan vektor nol,

\[ F \left( \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix}. \]

Karena hasilnya bukan vektor nol, transformasi ini bukan linear. Tetapi ia tetap afine karena bentuknya adalah

\[ A\mathbf{x}+\mathbf{b}. \]

Mengapa Istilah Ini Penting?

Perbedaan antara linear dan afine tampak kecil, tetapi secara matematis sangat penting. Banyak teorema dalam aljabar linear hanya berlaku untuk transformasi linear. Misalnya, representasi transformasi linear dengan matriks \(A\mathbf{x}\), pembahasan ruang nol, ruang kolom, rank, dan nilai eigen semuanya bergantung pada sifat linear.

Jika suatu transformasi berbentuk

\[ A\mathbf{x}+\mathbf{b}, \]

maka bagian \(A\mathbf{x}\) masih dapat dipelajari dengan aljabar linear, tetapi tambahan \(\mathbf{b}\) harus diperlakukan sebagai pergeseran. Jadi transformasi afine tidak “jauh” dari transformasi linear; ia adalah transformasi linear yang diberi translasi.

Dengan demikian, kalimat dalam dokumen induk bahwa \(f(x)=2x+1\) “lebih tepat disebut afine” didukung oleh definisi standar: fungsi itu memiliki bentuk linear ditambah konstanta, tetapi tidak memetakan \(0\) ke \(0\). Secara intuitif, grafiknya memang garis lurus; secara aljabar linear, ia bukan transformasi linear murni.

References

Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 3rd ed. Springer, 2015.

Berger, Marcel. Geometry I. Springer, 1987.

Gallier, Jean. Geometric Methods and Applications: For Computer Science and Engineering. 2nd ed. Springer, 2011.

Lay, David C., Steven R. Lay, and Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications. 5th ed. Pearson, 2016.

Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016.